3 - La factorisation

3 - La factorisation

Comme nous l'avons vu en quatrième, la factorisation est une technique de calcul littéral qui consiste à écrire une somme de deux expressions littérales sous la forme d'un produit : la forme factorisée de ab+ac, c'est a(b+c). Factoriser une expression est le contraire de développer une expression.
La factorisation permet de résoudre des équations, et donc des problèmes compliqués.

Rappel sur la factorisation

Pour factoriser une expression littérale :

Méthode

• 1. On cherche un "facteur commun" aux termes de l'expression. Cela doit être un diviseur de chaque terme. Par exemple, un facteur commun de 3x+15 est 3.
• 2. On écrit le facteur commun et on ouvre une parenthèse: 3(
• 3. On écrit les quotients des termes par le facteur commun : 3(x+5).

As-tu compris ?

Question 1/2

Écris un facteur commun de l'expression a²-ab.

 

Cas où le facteur commun est composé de plusieurs termes

Principe

Jusqu'à présent, dans toutes les factorisations que nous avons vu, le facteur commun était composé d'un seul terme. Mais dans certaines expressions, le facteur commun peut être composé de deux termes.
Par exemple, l'expression (x+2)(x+3)+(x+2)(x+4) est de la forme a×...+a×... et peut donc être factorisée. Le facteur commun, (x+2), est composé de deux termes.

Pour factoriser par (x+2), on utilise la même méthode que précédemment, mais à l'étape 2, on ouvre un crochet.

Exemples

As-tu compris ?

Question 1/2

Écris un facteur commun de l'expression (x+2)(x+7)-(5-x)(x+7).

 

Factoriser avec les identités remarquables

Parfois, on ne trouve pas de facteur commun. Dans ce cas, on peut essayer de factoriser en utilisant une identité remarquable.

Exemple

On doit factoriser x²-4.

Il n'y a pas de facteur commun, mais on sait que a²-b²=(a+b)(a-b).

On peut donc écrire x²-4=x²-2²=(x+2)(x-2).

Remarque

Les expressions littérales ne sont pas toujours factorisables. Par exemple, pour x²+2x+3, on ne peut pas trouver de facteur commun ni utiliser d'identité remarquable.

As-tu compris ?

Question 1/3

On souhaite factoriser 81-x².
Quelle identité remarquable doit-on utiliser?

 La première
 La deuxième
 La troisième

Après la factorisation : l'équation-produit

Après une factorisation, on doit parfois résoudre une équation-produit.
Une équation-produit est une équation dans laquelle le produit de deux expressions littérales est nul.

Exemple
(2x+4)(3x-9)=0 est une équation-produit.
Remarque sur les produits nuls
Si un produit est nul, alors au moins un de ses facteurs est nul.
En effet, si a et b sont deux nombres et que a×b=0, alors a=0 ou b=0 (ou les deux).

Résolution d'une équation-produit
Pour résoudre (2x+4)(3x-9)=0 on doit donc chercher les solutions des équations 2x+4=0 et 3x-9=0.
On obtient deux solutions : x=-2 et x=3.

Exemple de résolution complète d'une équation compliquée

Résolution de l'équation (x+4)(2x-5)-(x+4)(x+1)=0.

• 1. On commence par factoriser (x+4)(2x-5)-(x+4)(x+1).
  
• 2. On doit donc résoudre (x+4)(x-6)=0. C'est une équation-produit.
• 3. x+4=0 ou x-6=0, donc x=-4 ou x=6. Les solutions de cette équation sont -4 et 6.

As-tu compris ?

Quelles sont les solutions de l'équation (2x-4)(x+9)+(x+9)(3x-1)=0?

x =  et x =