Puissances et racines carrées

Comprendre les maths!

 
 

Cours de troisième

1 - Puissances et racines carrées

Nous avons déjà vu en quatrième les puissances et les racines carrées.

Nous avons vu :
- qu'un nombre n élévé à une puissance p est le résultat du produit de n par n par n par n... p fois (par exemple, 2⁵=2×2×2×2×2=32).
- que la racine carrée d'un nombre n est le nombre positif y tel que y×y=n (par exemple, la racine de 36 est égale 6).
Dans ce cours, nous allons voir comment calculer une puissance lorsque l'exposant est négatif ou nul, et quelques formules qui permettent d'accélérer les calculs dans lesquels apparaissent des puissances et des racines carrées.

As-tu compris les racines carrées ?

 =  

Les puissances permettent de manipuler des nombres très grands ou très petits, notamment en astronomie et en chimie en utilisant des écritures scientifiques.

Les racines carrées permettent d'utiliser le théorème de Pythagore et de résoudre deséquations du second degré.

Puissance d'exposant négatif ou nul

Exposant négatif

Nous avons vu la notation aⁿ.
Si n est positif, on calcule aⁿ en calculant a×a×a×...×a : n fois.
Par exemple, 2³=2×2×2=8 et (-3)⁴=(-3)×(-3)×(-3)×(-3)=81 (à ne pas confondre avec -3⁴=-3×3×3×3=-81).

Mais que se passe t-il si n est négatif ?
A quoi est égal 2^-3 ?
Pour comprendre les puissances négatives, commence par compléter le tableau ci-dessous.

23	22	21

Conclusion
Pour calculer un nombre avec une puissance négative, on calcule l'inverse de ce nombre avec une puissance positive.

Exemples

As-tu compris ?

Complète avec un nombre décimal.

10^-3 =  

Exposant nul

Un nombre élevé à la puissance 0 fait toujours 1, sauf zéro à la puissance zéro qui n'existe pas.
Par exemple, 7⁰=1.

Calcul avec des puissances

Rappel

En quatrième, nous avons vu que si x, a et b sont trois nombres, nous avons toujours :

Et si x≠0 :

Puissance de puissance

Une autre formule utile est la suivante :

En effet, on a par exemple :

Puissance d'un produit ou d'un quotient

Voyons enfin deux dernières formules :
1.

En effet, on a par exemple :

2.

En effet, on a par exemple :

Calcul avec des racines carrées

Les formules ci-dessous permettent de faire des calculs avec des racines carrées.

Formules

1. Si a est un nombre positif, on a toujours :

Par exemple, .

2. On peut vérifier avec une calculatrice que ≈2,45 et ×≈1,41×1,73≈2,45.
Si a et b sont deux nombres positifs, on a toujours .

3. Si a et b sont deux nombres positifs (b non nul), on a toujours  (en savoir plus, démonstrations).

Addition et soustraction de racines carrées

Attention ! +≈3,7 mais ≈2,6.
On ne peut pas additionner des racines carrées !
Cela reste possible dans certains cas en transformant leurs écritures afin de faire apparaître la racine carrée d'un même nombre.

Exemple

As-tu compris ?

Faux!



On demandait d'écrire  avec une seule racine carrée.

Tu as répondu racine de 5.




Essaie encore!

Écris  avec une seule racine carrée.

    

Simplification de racine carrée

En utilisant les mêmes règles de calcul, voici un exemple un peu plus long.

As-tu compris ?

Écris sous la forme  le nombre .

Combien trouves-tu pour a et b?
a=  b =  

Remarque

La racine carrée d'un nombre positif, c'est ce nombre à la puissance  : .
Par exemple, 64^0,5=8.


Bravo pour avoir lu ce cours jusqu'au bout.
Maintenant, essaie de faire les exercices !